利用マシンを緊急移動した場合のメールの行き先について、
移動完了後、４８時間程度は、新旧両方のメールボックスを確認してください。

緊急移動では、通常、２つのマシンを同時稼働していますので、新旧どちらかのマシンにメールは着信します。
メールソフトの設定で「受信サーバー 送信サーバー」を
旧マシンのホスト名、あるいは IPアドレスに設定、
そして旧パスワードを設定すると旧マシンのメールボックスに届いたメールを読み出し出来ます。

設定するアカウント名は 新旧どちらもメールドレス型式で、通ります。

参考情報
こういう場合、メール送信、あるいはwebへ接続しようとしている人が利用する接続プロバイダのネームサーバー情報の更新時間タイミングによって、

１．新サーバーに送信、接続される人、
２．旧サーバーに送信、接続される人がでてきます。
こういう現象は、遅くとも４８時間程度で解消します。
＊プロバイダのＤＮＳ情報更新が２４時間に１度のところが多数なため
ＤＮＳ情報更新前の接続プロバイダを利用している人 ＝ その人は、旧サーバーに繋がります。
ＤＮＳ情報更新後の接続プロバイダを利用している人 ＝ その人は、新サーバーに繋がります。
これはインターネットの仕組みからくる現象ですので、回避不可能です。
＝接続情報の変更はリアルタイムに世界中に伝わらないのです、バケツリレーが基本ですので、順次新しい情報が伝わっていきます。